Cómo crear campos dinámicos que se actualizan solos con JavaScript y PHP

Cuando empiezas a trastear con formularios en la web, tarde o temprano te topas con la necesidad de crear campos dinámicos que se generen, se rellenen y se actualicen solos según lo que el usuario va haciendo. Nada de recargar la página cada dos por tres ni de obligar a la gente a rellenar siempre lo mismo. Ahí es donde...